Question

已知函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)y=a的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）令t=a^x，則y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
當(dāng)a＞1時(shí)，∵x∈[-1，1]，則t∈[，a]，
∴函數(shù)在[，a]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=a時(shí)，函數(shù)取到最大值14=a²+2a-1，
解得a=3或-5（舍），則a的值為3．
若0＜a＜1，則t=a^x是減函數(shù)，所以＞a
所以0＜a＜t＜a^-1
所以y的圖象都在對(duì)稱軸t=-1的右邊，開口向上 并且遞增
所以t=a^-1時(shí)有最大值
所以y=（a^-1+1）²-2=14，解得a=符合0＜a＜1
故a的值為3或；
（2）由（1）知，=，
則函數(shù)分解成兩部分：f（U）=3^U外層函數(shù)，U=x²-4x 是內(nèi)層函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)y=3^U單調(diào)增函數(shù)，
則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)y=x²-4單調(diào)遞增區(qū)間；
函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間就是函數(shù)y=x²-4單調(diào)遞減區(qū)間；
∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）．
分析：（1）由題意令t=a^x，則原函數(shù)變成關(guān)于t的二次函數(shù)，求出t的范圍，根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出函數(shù)有最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的t值，進(jìn)而求出a的值．
（2）由（1）知，=，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷，即可得到的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、二次函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法及函數(shù)的最值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．