Question

等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn),且滿足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結(jié)、 (如圖2).

（Ⅰ）求證:平面;

（Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅱ）在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）二面角為直二面角,要證平面；只要證；

（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為，根據(jù)直線與平面所成的角的定義作出

直線與平面所成的角，設(shè)的長(zhǎng)為，用表示，在直角中，

根據(jù)勾股定理列出方程，若方程有解則存在，否則不存在.或借助已有的垂直關(guān)系；也可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量 ，利用建立方程，解這個(gè)方程探求 點(diǎn)的存在性.

試題解析：證明:(1)因?yàn)榈冗?/span>△的邊長(zhǎng)為3,且,

所以,. 在△中,,

由余弦定理得

. 因?yàn)?/span>,

所以. 3分

折疊后有,因?yàn)槎�面�?/span>是直二面角,

所以平面平面 ,又平面平面,

平面,, 所以平面. 6分

(2)解法1:假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為.

如圖,作于點(diǎn),連結(jié)、 ，

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面,

所以是直線與平面所成的角 , 8分

設(shè),則,,在△中,,所以 ,在△中,, ,由, 得 ,解得,滿足,符合題意 所以在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí) 12分

解法2:由(1)的證明,可知,平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖 ,設(shè), 則,, ,所以,,,所以 ,因?yàn)?/span>平面, 所以平面的一個(gè)法向量為 , 9分

因?yàn)橹本�與平面所成的角為,

所以,

解得 ,即,滿足,符合題意,所以在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí) . 12分

考點(diǎn)：1、直線與平面垂直的判定；2、直線與平面所成角的求法；3、空間直角坐標(biāo)系.