Question

【題目】如圖，正方體，則下列四個(gè)命題：

①點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與直線所成角的大小不變

②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角的大小不變

③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小不變

④點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變

其中的真命題是 （ ）

A.①③B.③④C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由與平面的位置關(guān)系判斷直線與直線所成角的大小變化情況；

②考慮與平面所成角的大小，然后判斷直線與平面所成角的大小是否不變；

③根據(jù)以及二面角的定義判斷二面角的大小是否不變；

④根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及三棱錐的體積計(jì)算公式判斷三棱錐的體積是否不變.

①如下圖，連接，

因?yàn)?/span>，所以平面，

所以，所以直線與直線所成角的大小不變；

②如下圖，連接，記到平面的距離為，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以與平面所成角的正弦值為：，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以所以與平面所成角的正弦值為：，

顯然，所以直線與平面所成角的大小在變化；

③因?yàn)?/span>，所以四點(diǎn)共面，又在直線上，所以二面角的大小不變；

④因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，

所以當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變.

所以真命題有：①③④.

故選：D.