Question

某學(xué)校為了選拔學(xué)生參加“XX市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽”，先在本校進(jìn)行選拔測(cè)試（滿分150分），若該校有100名學(xué)生參加選拔測(cè)試，并根據(jù)選拔測(cè)試成績作出如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估算這100名學(xué)生參加選拔測(cè)試的平均成績；
（2）若通過學(xué)校選拔測(cè)試的學(xué)生將代表學(xué)校參加市知識(shí)競(jìng)賽，知識(shí)競(jìng)賽分為初賽和復(fù)賽，初賽中每人最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽．假設(shè)參賽者甲答對(duì)每一個(gè)題的概率都是，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）；（2）的分布列為

	3	4	5
p

 
數(shù)學(xué)期望.

試題分析：（1）利用頻率分布直方圖求平均值，取各組的中間值，乘以各組的頻率再相加即得，即，其中為第組數(shù)據(jù)的頻率，是第組數(shù)據(jù)的中間值.（2）首先確定隨機(jī)變量的所有可能值.記甲在初賽中的答題個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，顯然他至少都要答3個(gè)題，最多答5個(gè)題.所以的可能值為3，4，5，表示前3個(gè)題都答對(duì)或都答錯(cuò)；表示前3個(gè)題中恰好答對(duì)2個(gè)且第4個(gè)答對(duì)或前3個(gè)題中恰好答錯(cuò)2個(gè)且第4個(gè)答錯(cuò)；表示前4個(gè)題中恰好答對(duì)2個(gè).據(jù)此即可求出的分布列及期望.
（1）設(shè)平均成績的估計(jì)值為，則：

． 4分
（2）記甲在初賽中的答題個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，這的可能值為3，4，5，
，，
（或）．
10分
則的分布列為

	3	4	5
p

 
所以數(shù)學(xué)期望． 12分