Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點是F₁和F₂，長軸是A₁A₂，P是橢圓上異于A₁、A₂的點，考慮如下四個命題：
①|PF₁|-|A₁F₁|=|A₁F₂|-|PF₂|；        
②a-c＜|PF₁|＜a+c；
③若b越接近于a，則離心率越接近于1；
④直線PA₁與PA₂的斜率之積等于-

b2

a2

．
其中正確的命題是（　�。�

• A、①②④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①④

Answer 1

分析：①由橢圓的定義和性質可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，|A₁F₁|+|A₁F₂|=a-c+a+c=2a，即可判斷出；
②由|A₁F₁|＜|PF₁|＜|AF₂|，即可判斷出；
③由離心率計算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

可知：b越接近于a，則離心率越接近于0，即可判斷出；
④設P（x，y）（x≠±a），由

x2

a2

+

y2

b2

=1可得y2=b2(1-

x2

a2

)=

b2

a2

(a2-x2)，再利用斜率計算公式即可得出．

解答：解：①由橢圓的定義和性質可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，|A₁F₁|+|A₁F₂|=a-c+a+c=2a，
∴|A₁F₁|+|A₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，∴|PF₁|-|A₁F₁|=|A₁F₂|-|PF₂|，因此正確；
②∵|A₁F₁|＜|PF₁|＜|AF₂|，∴a-c＜|PF₁|＜a+c，因此正確；
③由離心率計算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

可知：b越接近于a，則離心率越接近于0，因此③不正確；
④設P（x，y）（x≠±a），由

x2

a2

+

y2

b2

=1可得y2=b2(1-

x2

a2

)=

b2

a2

(a2-x2)，
則kPA1•kPA2=

y-0

x+a

•

y-0

x-a

=

y2

x2-a2

=

b2 a2 (a2-x2)

x2-a2

=-

b2

a2

，因此④正確．
綜上可知：正確的是①、②、④．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質，屬于難題．