Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M.
⑴求證：平面ABM⊥平面PCD；
⑵求直線PC與平面ABM所成角的正切值；
⑶求點(diǎn)O到平面ABM的距離.

Answer 1

見解析

(I)證明：即可.
（2）找出線面角是解題的關(guān)鍵，而找線面角的關(guān)鍵是平面ABM的垂線.取PC的中點(diǎn)N，易證：,所以∠PNM 就是PC與平面ABM所成角..
（3）點(diǎn)O到平面ABM的距離是點(diǎn)C到平面ABM的距離的一半，然后轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到平面ABM的距離即可，而點(diǎn)C到平面ABM的距離等于點(diǎn)P到平面ABM的距離，所以所求的距離等于PM的長(zhǎng)度的一半.
證明：（1）證明：
平面ABM⊥平面PCD
（2）平面ABM交PC于點(diǎn)N，則MN//CP
由（1）知PC與平面ABM所成角即為∠PNM=
則
（3）點(diǎn)O到平面ABM的距離即為點(diǎn)D到平面ABM的距離的一半
由上述知.