Question

正四棱錐P—ABCD中，底面邊長(zhǎng)為6，F(xiàn)、E分別在PA、PD上，且PA=3PF，PD=3PE，截面BCEF⊥側(cè)面PAD,

(1)求側(cè)棱與底面所成的角(結(jié)果用反三角表示)；?

(2)求四棱錐A—BCEF的體積.

Answer 1

解析：(1)取AD、BC、AC中點(diǎn)M、N、O，連結(jié)PN、GN、PO.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ON、OP分別為y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系O—xyz.設(shè)P(0,0,t)(t>0)，則A(3,-3,0),D(-3,-3,0),B(3,3,0),C(-3,3,0),F(1,-1,t),

∴=(3,-3,-t),=(-6,0,0),FB=(2,4,-t),=(-6,0,0).

設(shè)平面P的法向量m=(a,b,1),平面的法向量n=(c,d,1),?

由m·=0,m·=0,得a=0,b=-.?

∴m=(0,- ,1).?

由n·FB=0,n·=0,得c=0,d=.?

∴n=(0, ,1).?

又平面PAD⊥平面BCEF，?

∴m·n=0,則t=3.

∴P(0,0,3).?

∴=(0,0,3),=(3,-3,-3).

∴cos〈,〉==.

∴側(cè)棱PA與底面ABCD成45°角.

(2)n=(0, ,1),cos〈,n〉= =，

∴h=||·cos〈,n〉=2.

又S_截面BCEF=8,?

∴V _A—BCEF=S_截面BCEF·h=16.

溫馨提示：在正棱錐中常常應(yīng)用“高、側(cè)棱、斜高、底面線段”圍成的直角三角形和等腰三角形來分析線面關(guān)系.本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)定理和體積公式等.