Question

已知拋物線C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線C₂：的一個焦點(diǎn)F₁且垂直于C₂的兩個焦點(diǎn)所在的軸，若拋物線C₁與雙曲線C₂的一個交點(diǎn)是．
（1）求拋物線C₁的方程及其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求雙曲線C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)拋物線C₁的方程再把點(diǎn)代入方程即可求出拋物線C₁的方程及其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）解一：先利用拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線一個焦點(diǎn)F₁求出對應(yīng)焦點(diǎn)坐標(biāo)和c，再利用點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，代入雙曲線定義2a=|MF₁-MF₂|中求出a就可求出雙曲線C₂的方程．
解二：先利用拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線一個焦點(diǎn)F₁求出對應(yīng)焦點(diǎn)坐標(biāo)和c，再利用點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)適合雙曲線方程以及a²+b²=c²，求出a²和b²就可求出雙曲線C₂的方程．
解答：解：解一：（1）由題意可設(shè)拋物線C₁的方程為y²=2px．（2分）
把代入方程為y²=2px，得p=2（4分）
因此，拋物線C₁的方程為y²=4x．（5分）
于是焦點(diǎn)F（1，0）（6分）
（2）拋物線C₁的準(zhǔn)線方程為y=-1，
所以，F(xiàn)₁（-1，0）（7分）
而雙曲線C₂的另一個焦點(diǎn)為F（1，0），于是
因此，（9分）
又因?yàn)閏=1，所以．
于是，雙曲線C₂的方程為．（12分）
解二：（1）同上（6分）
（2）拋物線C₁的準(zhǔn)線方程為y=-1，
所以，F(xiàn)₁（-1，0）
而雙曲線C₂的另一個焦點(diǎn)為F（1，0），
∵點(diǎn)在雙曲線上，∴∴
∴4a⁴-37a²+9=0
∴a²=9（舍去）或，從而
∴雙曲線方程為（12分）
點(diǎn)評：本題是對拋物線和雙曲線的綜合問題的考查．在求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一定要看清條件，分析出焦點(diǎn)所在位置在設(shè)方程．