Question

（2013•湖南）設函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）記集合M={（a，b，c）|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且a=b}，則（a，b，c）∈M所對應的f（x）的零點的取值集合為

{x|0＜x≤1}

．
（2）若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是

①②③

．（寫出所有正確結論的序號）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈（1，2），使f（x）=0．

Answer 1

分析：（1）由集合M中的元素滿足的條件，得到c≥a+b=2a，求得

c

a

的范圍，解出函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x的零點，利用不等式可得零點x的取值集合；
（2）對于①，把函數(shù)式f（x）=a^x+b^x-c^x變形為f(x)=ax+bx-cx=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，利用指數(shù)函數(shù)的單調性即可證得結論成立；
對于②，利用取特值法說明命題是正確的；
對于③，由△ABC為鈍角三角形說明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零點的存在性定理可得命題③正確．

解答：解：（1）因為c＞a，由c≥a+b=2a，所以

c

a

≥2，則ln

c

a

≥ln2＞0．
令f（x）=a^x+b^x-c^x=2ax-cx=cx[2(

a

c

)x-1]=0．
得(

c

a

)x=2，所以x=

ln2

ln c a

≤

ln2

ln2

=1．
所以0＜x≤1．
故答案為{x|0＜x≤1}；
（2）因為f(x)=ax+bx-cx=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，
又

a

c

＜1，

b

c

＜1，
所以對?x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞(

a

c

)1+(

b

c

)1-1=

a+b-c

c

＞0．
所以命題①正確；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

．不能構成一個三角形的三條邊長．
所以命題②正確；
若三角形為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命題③正確．
故答案為①②③．

點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，考查了函數(shù)零點的判斷方法，訓練了特值化思想方法，解答此題的關鍵是對題意的正確理解，此題是中檔題．