Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過， 兩點，且圓心在直線上．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓內(nèi)一點作兩條相互垂直的弦，當(dāng)時，求四邊形的面積．

（3）設(shè)直線與圓相交于兩點， ，且的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）或.

【解析】試題分析：（1）由圓的方程可采用待定系數(shù)法或利用圓的性質(zhì)：弦的垂直平分線過圓心等來求解；（2）將四邊形面積用弦長表示，利用直線與圓相交時弦長一半，圓的半徑，圓心到直線的距離構(gòu)成的直角三角形求解；（3）設(shè)出直線方程，將弦長和面積用表示，解方程可得到直線的方程

試題解析：（1）因為， ，所以，AB的中點為，

故線段AB的垂直平分線的方程為，即，

由，解得圓心坐標(biāo)為．

所以半徑r滿足．

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）∵∴到直線的距離相等，設(shè)為

則

∴

∴四邊形的面積

（3）設(shè)坐標(biāo)原點到直線的距離為，因為．

①當(dāng)直線與x軸垂直時，由坐標(biāo)原點到直線的距離為知，直線的方程為

或，經(jīng)驗證，此時，不適合題意；

②當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，

由坐標(biāo)原點到直線的距離為，得（*），

又圓心到直線的距離為，所以，

即（**），

由（*），（**）解得．

綜上所述，直線的方程為或．