Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）討論函數(shù)的零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)為偶函數(shù)；當時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；詳見解析（2）當時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)有1個零點

【解析】

(1)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷可得;

(2)將函數(shù)化為分段函數(shù)后,對分五種情況討論可求得函數(shù)的零點.

(1) 當時，函數(shù)為偶函數(shù)；當時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù),

理由如下:

當時,,,所以為偶函數(shù);

當時,不恒等于0,所以不為奇函數(shù),

不恒等于0,所以不為偶函數(shù),

所以為非奇非偶函數(shù).

(2)因為,

①當時,當時,由,可得,

當時, 由得(舍去),

所以函數(shù)有唯一零點,

②當時, ,

所以函數(shù)有唯一零點,

③當時, 當時,由,可得,

當時, 由得,

所以函數(shù)有兩個零點,

④當時,函數(shù),

所以函數(shù)有唯一零點,

⑤當時, 當時,由,可得(舍去),

當時, 由得,

所以函數(shù)有唯一零點,

綜上所述: 當時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)有1個零點.