Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a+b）cosC+ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，（2a+b）cosC+ccosB=0， ∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
則2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，
∴1=﹣2cosC，得cosC= ，
又0＜C＜π，∴C= ；
（Ⅱ）由（I）得C= ，則A+B=π﹣C= ，
即B= ﹣A，所以 ，
∴sinAcosB=sinAcos（ ﹣A）
=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（ cosA+ sinA）
= sin2A+ = （ ）
=
∵ ，∴ ，
則 ，
即 ，
∴sinAcosB的取值范圍是 ．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角C的大��；（Ⅱ）由（I）和內(nèi)角和定理表示出B，并求出A的范圍，代入sinAcosB后，由兩角差的余弦公式、正弦公式化簡后，由A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．