Question

（2011•南通三模）在△ABC中，a²+c²=2b²，其中a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊長．
（1）求證：B≤

π

3

；
（2）若B=

π

4

，且A為鈍角，求A．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理求得cosB= 

a2+c2

4ac

，由a²+c²≥2ac，得cosB≥

1

2

，再由0＜B＜π 得 B≤

π

3

，命題得證．
（2）正弦由定理及B=

π

4

，故sin²A=cos²C，因?yàn)锳為鈍角，故sinA=cosC=cos(

3

4

π-A)=sin(A-

π

4

)，故有A+(A-

π

4

)=π（或A=A-

π

4

，不合，舍），從而求得A的值．

解答：解：（1）由余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

． …（3分）
因a²+c²≥2ac，∴cosB≥

1

2

．…（6分）     
由0＜B＜π，得  B≤

π

3

，命題得證． …（7分）
（2）正弦由定理得sin²A+sin²C=2sin²B． …（10分）
因B=

π

4

，故2sin²B=1，于是sin²A=cos²C．…（12分）
因?yàn)锳為鈍角，所以sinA=cosC=cos(

3

4

π-A)=sin(A-

π

4

)．
所以A+(A-

π

4

)=π（或A=A-

π

4

，不合，舍），
解得A=

5π

8

． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．