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        1. (2011•南通三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的離心率為
          2
          2
          ,其焦點(diǎn)在圓x2+y2=1上.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)設(shè)A,B,M是橢圓上的三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn)),且存在銳角θ,使
          OM
          =cosθ
          OA
          +sinθ
          OB

          (i)求證:直線OA與OB的斜率之積為定值;
          (ii)求OA2+OB2
          分析:(1)由已知中橢圓的離心率為
          2
          2
          ,其焦點(diǎn)在圓x2+y2=1上我們可以求出a,b,c的值,進(jìn)而得到橢圓的方程;
          (2)(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由
          OM
          =cosθ
          OA
          +sinθ
          OB
          .可得x,y的坐標(biāo)表達(dá)式,進(jìn)而根據(jù)M在橢圓上,可得kOAkOB=
          y1y2
          x1x2
          =-
          1
          2
          為定值.
          (ii)由(i)中結(jié)論,可得y12+y22=1,及x12+x22=2,進(jìn)而得到OA2+OB2
          解答:解:(1)依題意,得  c=1.于是,a=
          2
          ,b=1.     …(2分)
          所以所求橢圓的方程為
          x2
          2
          +y2=1
          . …(4分)
          (2)(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
          x
          2
          1
          2
          +
          y
          2
          1
          =1
          ①,
          x
          2
          2
          2
          +
          y
          2
          2
          =1
          ②.
          又設(shè)M(x,y),因
          OM
          =cosθ
          OA
          +sinθ
          OB
          ,故
          x=x1cosθ+x2sinθ
          y=y1cosθ+y2sinθ.
          …(7分)
          因M在橢圓上,故
          (x1cosθ+x2sinθ)2
          2
          +(y1cosθ+y2sinθ)2=1

          整理得(
          x
          2
          1
          2
          +
          y
          2
          1
          )cos2θ+(
          x
          2
          2
          2
          +
          y
          2
          2
          )sin2θ+2(
          x1x2
          2
          +y1y2)cosθsinθ=1

          將①②代入上式,并注意cosθsinθ≠0,得  
          x1x2
          2
          +y1y2=0

          所以,kOAkOB=
          y1y2
          x1x2
          =-
          1
          2
          為定值. …(10分)
          (ii)(y1y2)2=(-
          x1x2
          2
          )2=
          x
          2
          1
          2
          x
          2
          2
          2
          =(1-
          y
          2
          1
          )(1-
          y
          2
          2
          )=1-(
          y
          2
          1
          +
          y
          2
          2
          )+
          y
          2
          1
          y
          2
          2
          ,故y12+y22=1.
          (
          x
          2
          1
          2
          +
          y
          2
          1
          )+(
          x
          2
          2
          2
          +
          y
          2
          2
          )=2
          ,故x12+x22=2.
          所以,OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3.  …(16分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查圓、橢圓及直線的基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力及探究能力.第(2)問中,可以證明線段AB的中點(diǎn)恒在定橢圓x2+2y2=1上.后一問與前一問之間具有等價(jià)關(guān)系.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          1或2
          1或2

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          (2011•南通三模)底面邊長(zhǎng)為2m,高為1m的正三棱錐的全面積為
          3
          3
          3
          3
          m2

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          1
          1

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          (2011•南通三模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中.
          (1)若BB1=BC,B1C⊥A1B,證明:平面AB1C⊥平面A1BC1;
          (2)設(shè)D是BC的中點(diǎn),E是A1C1上的一點(diǎn),且A1B∥平面B1DE,求
          A1EEC1
          的值.

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