Question

【題目】設函數在上是奇函數，且對任意都有，當時，，：

（1）求的值；

（2）判斷的單調性，并證明你的結論；

（3）求不等式的解集.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上單調遞減；證明詳見解析；（3）。

【解析】

試題分析：（1）令可以得到：，由已知，所以；（2）函數在區(qū)間上為單調遞減函數，可以按照函數單調性定義進行證明，設是上任意兩個不等的實數，且，則，，再根據已知條件可有，因為當時，，所以，因此函數在區(qū)間上為單調遞減函數；（3）根據第（1）問，再根據奇函數有：，所以不等式轉化為，根據在區(qū)間上為單調遞減函數，則有：，解得，所以。

試題解析：（1）在中，令得

（2）結論：函數在上是單調遞減的，證明如下：

任取

則==

因為，所以，則，即

故函數在上單調遞減。

（3）由于

所以不等式等價于

又是奇函數，所以

即

又因為函數在上單調遞減，

所以，解得

故原不等式的解集為