【題目】如下圖,在空間多面體中,四邊形
為直角梯形,
,
,
是正三角形,
,
。
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ)。
【解析】
試題分析:(Ⅰ)借助題設(shè)條件運(yùn)用面面垂直的判定定理推證;(Ⅱ)借助題設(shè)條件運(yùn)用二面角的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化為平面角或運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式求解。
試題解析:
證明:(Ⅰ)因?yàn)?/span>,
,
所以,
所以,
因?yàn)?/span>,
所以平面
,
因?yàn)?/span>平面
,
所以平面平面
,
法一:(Ⅱ)取中點(diǎn)
,連接
,過(guò)
作
,過(guò)
作
,連接
,所以
是二面角
的平面角,
設(shè),
在中,
,所以
,
在中,
,所以
,
,
因?yàn)?/span>,所以
,
在中,所以
,
因?yàn)?/span>,所以
,
所以,
過(guò)作
,則
是
中點(diǎn),
所以,
在中,
,
所以,即二面角
的余弦值為
。
法二:(Ⅱ)過(guò)作
,過(guò)
作
,
,
連接,則
是正方形,
因?yàn)?/span>,所以
,
所以是梯形,
過(guò)作
,連接
,
因?yàn)?/span>,
平面
,
所以,即
,
則是二面角
的平面角,
設(shè),則
,
在,
,
,
所以,
,
所以,
所以二面角的余弦值為
。
法三:(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)作
平面
,由(Ⅰ)知:平面
平面
,所以
平面
,
以為原點(diǎn),分別以
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,因?yàn)?/span>
,且
,所以
,
,
,
,
,
設(shè)平面的法向量為
,則
,
,取
,
同理可得平面的法向量
,
所以,
因?yàn)槎娼?/span>是鈍角,所以其余弦值是
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋中有10個(gè)紅球和10個(gè)綠球,它們除顏色不同外,其它都相同.從袋中隨機(jī)取2個(gè)球,互斥而不對(duì)立的事件是( )
A.至少有一個(gè)紅球;至少有一個(gè)綠球B.至少有一個(gè)紅球;都是紅球
C.恰有一個(gè)紅球;恰有兩個(gè)綠球D.至少有一個(gè)紅球;都是綠球
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱柱中,側(cè)棱
底面
,
,
,
。
(Ⅰ)若為線段
上一點(diǎn),且
,求證:
平面
;
(Ⅱ)若分別是線段
的中點(diǎn),設(shè)平面
將三棱柱分割成左、右兩部分,記它們的體積分別為
和
,求
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)定義在區(qū)間上的函數(shù)
和
,如果對(duì)任意
,都有
成立,那么稱函數(shù)
在區(qū)間D上可被
替代,D稱為“替代區(qū)間”.給出以下命題:
①在區(qū)間
上可被
替代;
②可被
替代的一個(gè)“替代區(qū)間”為
;
③在區(qū)間
可被
替代,則
;
④,則存在實(shí)數(shù)
,使得
在區(qū)間
上被
替代;
其中真命題的有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中
,
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。
(Ⅰ)若關(guān)于的方程
有唯一實(shí)根,求
的值;
(Ⅱ)若過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線
與直線
垂直,證明:
;
(Ⅲ)設(shè),當(dāng)
時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某技術(shù)公司新開(kāi)發(fā)了兩種新產(chǎn)品,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為:指標(biāo)大于或等于82為正品,小于82為次品,現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
測(cè)試指標(biāo) | |||||
產(chǎn)品 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
產(chǎn)品 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)試分別估計(jì)產(chǎn)品,產(chǎn)品
為正品的概率;
(2)生產(chǎn)一件產(chǎn)品,若是正品可盈利80元,次品則虧損10元;生產(chǎn)一件產(chǎn)品
,若是正品可盈利100元,次品則虧損20元,在(1)的前提下,記
為生產(chǎn)1件產(chǎn)品
和1件產(chǎn)品
所得的總利潤(rùn),求隨機(jī)變量
的分列和數(shù)學(xué)期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】重慶某重點(diǎn)中學(xué)高一新生小王家在縣城A地,現(xiàn)在主城B地上學(xué)。周六小王的父母從早上8點(diǎn)從家出發(fā),駕車(chē)3小時(shí)到達(dá)主城B地,期間由于交通等原因,小王父母的車(chē)所走的路程(單位:km)與離家的時(shí)間
(單位:h)的函數(shù)關(guān)系為
。達(dá)到主城B地后,小王父母把車(chē)停在B地,在學(xué)校陪小王玩到16點(diǎn),然后開(kāi)車(chē)從B地以
的速度沿原路返回。
(1)求這天小王父母的車(chē)所走路程(單位:km)與離家時(shí)間
(單位:h)的函數(shù)解析式;
(2)在距離小王家60處有一加油站,求這天小王父母的車(chē)途經(jīng)加油站的時(shí)間。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)在
上是奇函數(shù),且對(duì)任意
都有
,當(dāng)
時(shí),
,
:
(1)求的值;
(2)判斷的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)求不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表:
X\Y | y1 | y2 | 總計(jì) |
x1 | a | 40 | a+40 |
x2 | 30﹣a | 30 | 60﹣a |
總計(jì) | 30 | 70 | 100 |
在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)百分之5的前提下,下面哪個(gè)選項(xiàng)無(wú)法認(rèn)為變量X,Y有關(guān)聯(lián)( )
A.a=10
B.a=12
C.a=8
D.a=9
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