Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（I）求證：BC⊥PC；
（II）求PB與平面PAC所成的角的正弦值；
（III）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：方法1：綜合法（I）要證BC⊥PC，只要證AC⊥BC，由勾股定理易證，根據(jù)三垂線定理，可得BC⊥PC；（II）要求PB與平面PAC所成的角的正弦值，只要找PB在平面PAC內(nèi)的射影PC，解三角形PBC即可；（III）求點A到平面PBC的距離，即找過點A的面PBC的一條垂線段即可．
方法2：向量法：建系，寫出相關(guān)點的坐標，（I）要證BC⊥PC，只要證；（II）求PB與平面PAC所成的角的正弦值，即求與平面PAC的一個法向量夾角的余弦值的絕對值即可；（III）求點A到平面PBC的距離，即求在平面PBC的一個法向量上的投影的絕對值．
解答：解：方法1
（I）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且．
取AB的中點E，連接CE，
由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，
又，所以，
則△ABC為等腰直角三角形，
所以AC⊥BC，
又因為PA⊥平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，BC?平面ABCD，由三垂線定理得，BC⊥PC
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，PC是PB在平面PAC內(nèi)的射影，
所以∠CPB是PB與平面PAC所成的角，又，
PB²=PA²+AB²=20，，，
即PB與平面PAC所成角的正弦為
（III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
過A點在平面PAC內(nèi)作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，
則AF的長即為點A到平面PBC的距離，
在直角三角形PAC中，PA=2，，，
所以即點A到平面PBC的距離為
方法2
∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°
∴以A為原點，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系
∵PA=AD=DC=2，AB=4．
∴B（0，4，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2）
（I）∴
∵
∴，即BC⊥PC
（II）∵設(shè)面APC法向量=（x，y，z）
∴，∴
設(shè)x=-1，∴y=1∴=（-1，1，0）
∵∴
=
即PB與平面PAC所成角的正弦值為
（III）由∵設(shè)面PBC法向量=（a，b，c）
∴∴
設(shè)a=1，∴c=2，b=1∴=（1，1，2）
∴點A到平面PBC的距離為
=
∴點A到平面PBC的距離為
點評：考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理，直線和平面所成角及點到面的距離．方法1綜合法，考查邏輯推理能力，方法2向量法注重考查計算能力，這兩種方法都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．