Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，
E、F分別為CD、PB的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）設(shè)，求直線AC與平面AEF所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出直線EF所在的向量，再求出平面內(nèi)兩條相交直線所在的向量，然后利用向量的數(shù)量積為0，根據(jù)線面垂直的判定定理得到線面垂直．
（2）求出平面的法向量以及直線所在的向量，再利用向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為線面角，即可解決問題．
解答：解：以D為從標原點，DC、DA、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．設(shè)AB=a，
則A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），…（2分）

（1）由題意可得：=0×0+1×2+1×（-2）=0，=0×a+1×2+1×（-2）=0
∴EF⊥PA，EF⊥PB．
∴EF⊥平面PAB．…（6分）
（2）AB=2=（0，1，1）．
設(shè)平面AEF的法向量n=（x，y，z），
則
令y=1，則x=…（9分）
又．…（11分）
所以sinθ=1cos＜．…（12分）
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進而得到空間中點、線、面的位置關(guān)系，利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關(guān)知識解決空間角與空間距離以及線面的位置關(guān)系等問題．