Question

【題目】對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點，作如下定義:,那么稱點是點的“上位點”，同時點是點的“下位點”.

（1）試寫出點的一個“上位點”坐標(biāo)和一個“下位點”坐標(biāo)；

（2）設(shè)、、、均為正數(shù)，且點是點的上位點，請判斷點是否既是點的“下位點”又是點的“上位點”，如果是請證明，如果不是請說明理由；

（3）設(shè)正整數(shù)滿足以下條件：對任意實數(shù)，總存在，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求正整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）“上位點”，“下位點”；（2）是，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由已知中“上位點”和“下位點”的定義，可得出點的一個“上位點”的坐標(biāo)為，一個“下位點”的坐標(biāo)為；

（2）由點是點的“上位點”得出，然后利用作差法得出與、的大小關(guān)系，結(jié)合“下位點”和“上位點”的定義可得出結(jié)論；

（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論，可得，，滿足條件，再說明當(dāng)時，不成立，可得出的最小值為.

（1）對于平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義：，那么稱點是點的“上位點”，同時點是點的“下位點”.

點的一個“上位點”的坐標(biāo)為，一個“下位點”的坐標(biāo)為；

（2）點是點的“上位點”，，.

，

點是點的“下位點”，

，

點是點的“上位點”；

（3）若正整數(shù)滿足條件：在時恒成立.

由（2）中的結(jié)論可知，，時滿足條件.

若，由于，

則不成立.

因此，的最小值為.