Question

【題目】如果的定義域為，對于定義域內的任意，存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”．給出下列命題：

①函數具有“性質”；

②若奇函數具有“性質”，且，則；

③若函數具有“性質”， 圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，則在上單調遞減,在上單調遞增；

④若不恒為零的函數同時具有“性質”和 “性質”，且函數對，都有成立，則函數是周期函數．

其中正確的是 （寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：由題意得，①，所以函數具有“性質”，所以是正確的；②因為奇函數，具有“性質”，所以，所以，周期為，因為，所以不正確；③因為函數具有“性質”，所以，所以關于對稱，即，因為圖象關于點對稱，所以，即，所以函數為偶函數，因為圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，所以圖象也關于點成中心對稱，且在上單調遞減，根據偶函數的對稱得出，在上單調遞增，所以是正確的；④因為“性質”和“性質”，所以，

所以為偶函數，且周期為，因為函數，對，都有成立，所以必是周期函數，所以是正確的，故選①③④．