Question

設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃；
（2）令bn=

1+24an

，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)，代入計(jì)算，可得a₂，a₃；
（2）證明{b_n-3}是以2為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)，
∴a2=

1

16

(1+4a1+

1+24a1

)=

5

8

，
a3=

1

16

(1+4a2+

1+24a2

)=

1

16

(1+4•

5

8

+

1+24• 5 8

)=

15

32

．
（2）∵bn=

1+24an

，∴an=

bn2-1

24

，代入an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)
得

bn+12-1

24

=

1

16

(1+4•

bn2-1

24

+

1+24• bn2-1 24

)
化簡(jiǎn)可得4bn+12=(bn+3)2，即2b_n+1=b_n+3．
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，∴{b_n-3}是以2為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n-3=2•(

1

2

)n-1，∴b_n=(

1

2

)n-2+3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．