Question

一動(dòng)圓與圓O₁：（x+2）²+y²=3外切，與圓O₂：（x-2）²+y²=27內(nèi)切．
（I）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（II）試探究圓心M的軌跡上是否存在點(diǎn)P，使直線與PO₁的斜率kpo1•kpo2=1？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R．由題意，得|MO₁|=

3

+R，|MO₂|=3

3

-R，由橢圓定義知M在以O(shè)₁，O₂為焦點(diǎn)的橢圓上，由此能求出動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．
（II）由動(dòng)圓圓心M的軌跡是橢圓，它的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為O₁（-2，0）和O₂（2，0），設(shè)P（x，y）是橢圓上的點(diǎn)，由kPO1•kPO2=1，得

y

x+2

•

y

x-2

=1，（x≠±2），由此能夠推導(dǎo)出圓心M的軌跡上存在四個(gè)點(diǎn)P，使直線PO₁與PO₂的斜率kPO1•kPO2=1．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R．
由題意，得|MO₁|=

3

+R，|MO₂|=3

3

-R，（1分）
∴|MO1|+|MO2|=4

3

，
由橢圓定義知M在以O(shè)₁，O₂為焦點(diǎn)的橢圓上，（3分）
且a=2

3

，c=2，
∴b²=a²-c²=12-4=8．                （5分）
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為

x2

12

+

y2

8

=1．          （6分）
（II）由（I）知?jiǎng)訄A圓心M的軌跡是橢圓，
它的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為O₁（-2，0）和O₂（2，0），（7分）
設(shè)P（x，y）是橢圓上的點(diǎn)，
由kPO1•kPO2=1，
得

y

x+2

•

y

x-2

=1，（x≠±2）（9分）
即x²-y²=4（x≠±2），這是實(shí)軸在x軸，頂點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線，
它與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．
由于雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
根據(jù)橢圓和雙曲線的對(duì)稱性可知，它們必有四個(gè)交點(diǎn)．
即圓心M的軌跡上存在四個(gè)點(diǎn)P，
使直線PO₁與PO₂的斜率kPO1•kPO2=1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)圓圓心軌跡的求法，探索滿足條件的點(diǎn)的存在性．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．