Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求的單調(diào)性；

（2）若，對(duì)于任意，是否存在與有關(guān)的正常數(shù)，使得成立？如果存在，求出一個(gè)符合條件的；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí),在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；（2）存在與有關(guān)的正常數(shù)

【解析】

（1）求導(dǎo)可得,分別討論,,時(shí)的情況,進(jìn)而判斷單調(diào)性即可；

（2）存在與有關(guān)的正常數(shù)使得,即,則,設(shè),滿足即可,利用導(dǎo)數(shù)可得,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)性質(zhì)即可求解

（1）,

①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上的單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí),,,所以在上的單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí),令,得,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增；

綜上所述：當(dāng)時(shí),在上的單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

（2）存在,

當(dāng)時(shí),,

設(shè)存在與有關(guān)的正常數(shù)使得,即

,

需求一個(gè),使成立,只要求出的最小值,滿足,

∵,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

∴,

只需證明在內(nèi)成立即可,

令,

,

∴在單調(diào)遞增,

∴,

所以,故存在與有關(guān)的正常數(shù)使成立