Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）
（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）若直線l與x軸，y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB的面積的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等包括兩種情況，一是過(guò)原點(diǎn)，一是斜率為-1，分別求出兩種情況下直線l的方程，進(jìn)而得到答案；
（2）由已知中直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，-2），與x軸，y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，我們可以設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＜0，b＜0），進(jìn)而根據(jù)S△AOB=

1

2

|a| |b| =

1

2

ab，我們易根據(jù)基本不等式，得到△AOB的面積的最小值，即a，b的值，進(jìn)而得到直線l的方程．

解答：（12分）
解：（1）當(dāng)截距均為0時(shí)，直線l過(guò)P（-1，-2）及O（0，0）
方程為：y=2x         （2分）
當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)l的方程為：

x

a

+

y

a

=1
由題意：

-3

a

=1
∴a=-3
∴l(xiāng)的方程為：x+y+3=0
綜上，l的方程為：y=2x或x+y+3=0（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＜0，b＜0）（7分）
∵點(diǎn)P（-1，-2）在直線l上
∴

-1

a

+

-2

b

=1
∴1≥2

(- 1 a ) (- 2 b )

∴ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)

1 a + 2 b =-1 1 a = 2 b

即

a=-2 b=-4

時(shí)，取“=”（10分）S△AOB=

1

2

|a| |b| =

1

2

ab
∴當(dāng)a=-2，b=-4時(shí)，（S_△AOB）_min=4（11分）
此時(shí)直線l的方程為

x

-2

+

y

-4

=1，即2x+y+4=0（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的截距式方程，其中（1）的關(guān)鍵是分析出直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等包括兩種情況，一是過(guò)原點(diǎn)，一是斜率為-1，在解答時(shí)，易忽略直線l過(guò)原點(diǎn)這種情況，而錯(cuò)解為x+y+3=0．