Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的點(diǎn)，CA是∠BAF的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于D點(diǎn)，CM⊥AB，垂足為點(diǎn)M．
（1）求證：DC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求證：AMMB=DFDA．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA，

∵CA是∠BAF的角平分線(xiàn)，

∴∠OAC=∠FAC

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AD．

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切線(xiàn)．

（2）證明：連接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AMMB．

又∵DC是⊙O的切線(xiàn)，∴DC2=DFDA．

∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC

∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，

∴AMMB=DFDA

【解析】（1）證明DC是⊙O的切線(xiàn)，就是要證明CD⊥OC，根據(jù)CD⊥AF，我們只要證明OC∥AD；（2）首先，我們可以利用射影定理得到CM2=AMMB，再利用切割線(xiàn)定理得到DC2=DFDA，根據(jù)證明的結(jié)論，只要證明DC=CM．