Question

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說明其表示什么軌跡．
（2）若直線的極坐標(biāo)方程為sinθ﹣cosθ= ，求直線被曲線C截得的弦長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），

∴由sin2α+cos2α=1，

得曲線C的普通方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，

即x2+y2=6x+2y，

由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，

得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，

即ρ=6cosθ+2sinθ，

它是以（3，1）為圓心，以 為半徑的圓．

（2）解：∵直線的極坐標(biāo)方程為sinθ﹣cosθ= ，

∴ρsinθ﹣ρcosθ=1，

∴直線的直角坐標(biāo)為x﹣y+1=0，

∵曲線C是以（3，1）為圓心，以r= 為半徑的圓，

圓心C（3，1）到直線x﹣y+1=0的距離d= = ，

∴直線被曲線C截得的弦長|AB|=2 =2 = ．

【解析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲線C的普通方程，再由ρ2=x2+y2 ， ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的極坐標(biāo)方程，由此得到曲線C是以（3，1）為圓心，以 為半徑的圓．（2）先求出直線的直角坐標(biāo)為x﹣y+1=0，再求出圓心C（3，1）到直線x﹣y+1=0的距離d，由此能求出直線被曲線C截得的弦長．