Question

（2012•綿陽三模）已知數列{a_n}各項均為正數，S_n為其前n項和，對于n∈N^*，總有an，Sn，

a

2 n

成等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項a_n；
（II）設數列{

1

an

}的前n項和為T_n，數列{T_n}的前n項和為R_n，求證：當n≥2，n∈N^*時，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）對任意n≥2，n∈N^*，試比較

1

n

+

1

n+1

+

n

i=1

a -3 i

與2+

1

2

的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意，an，Sn，

a

2 n

成等差數列，可得2Sn=an+an2（n∈N^*），再寫一式，兩式相減，整理可得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數列，再確定數列的首項．即可求得數列{a_n}的通項a_n；
（II）Tn=1+

1

2

+…+

1

n

，當n≥2時，R_n-1=1+（1+

1

2

）+…+（1+

1

2

+…+

1

n

）=n-1+

n

2

-1+

n

n-1

-1+

n

n

-1=n（1+

1

2

+…+

1

n

）-n，即可證得結論；
（III）先證明2

k

＞

k+1

+

k-1

，再證明當k≥2時，

1

k3

＜

1

k × k2-1

＜

1

k-1

-

1

k+1

，利用疊加法，即可求得結論．

解答：（I）解：由題意，an，Sn，

a

2 n

成等差數列，∴2Sn=an+an2（n∈N^*）．
于是2Sn+1=an+1+an+12，
兩式相減，得2an+1=(an+1+an+12)-(an+an2)，
即a_n+1+a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
由題，a_n＞0，a_n+1+a_n≠0，
得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數列．
又由2S1=a1+a12，得a₁=1或a₁=0（舍去）．
∴a_n=1+（n-1）•1=n （n∈N^*）．…（5分）
（II）證明：由（I）知

1

an

=

1

n

，于是Tn=1+

1

2

+…+

1

n

，
于是當n≥2時，R_n-1=1+（1+

1

2

）+…+（1+

1

2

+…+

1

n

）=n-1+

n

2

-1+

n

n-1

-1+

n

n

-1
=n（1+

1

2

+…+

1

n

）-n=n（T_n-1）．…（10分）
（III）解：由（I）知，

n

i=1

a -3 i

=

n

i=1

1

i3

．
∵

k

-

k-1

＞

k+1

-

k

，∴2

k

＞

k+1

+

k-1

，
當k≥2時，

1

k3

＜

1

k × k2-1

＜

2

k-1 × k+1 ( k-1 + k+1 )

=

1

k-1

-

1

k+1

，
∴

n

i=1

a -3 i

＜1+（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）=2+

2

2

-

1

n

-

1

n+1

．
即較

1

n

+

1

n+1

+

n

i=1

a -3 i

＜2+

1

2

．    …（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，解題的關鍵是正確放縮，屬于中檔題．