Question

（2012•綿陽三模）某電視臺(tái)有A、B兩種智力闖關(guān)游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲A，丙丁兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲B．已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為

1

2

，丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為

2

3

．
（I ）求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率；
（II） 記游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），則“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀，利用互斥事件概率公式，可求得結(jié)論；
（II）由題設(shè)可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可得到ξ的分布列和期望．

解答：解：（I）設(shè)“i個(gè)人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個(gè)人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），
則“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀．
∴P（A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀）=P（A₁B₀）+P（A₂B₁）+P（A₂B₀）=P（A₁）•P（B₀）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×C

0 2

×(

2

3

)0(

1

3

)2+

C

2 2

×(

1

2

)2×(

1

2

)0

×C

1 2

×(

2

3

)1(

1

3

)1+

C

2 2

×(

1

2

)2×

C

0 2

×(

1

3

)2=

7

36

．
即游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率為

7

36

．…（4分）
（II）由題設(shè)可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=

C

0 2

×(

1

2

)2×

C

0 2

×(

1

3

)2=

1

36

，P（ξ=1）=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×C

2 2

×(

1

3

)2+

C

0 2

×(

1

2

)2

×C

1 2

×(

2

3

)1(

1

3

)1=

1

6

P（ξ=2）=

C

2 2

×(

1

2

)2×

C

2 2

×(

1

3

)2+

C

2 2

×(

1

3

)2×

C

2 2

×(

1

2

)2+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×C

1 2

×(

2

3

) ×(

1

3

) =

13

36

P（ξ=3）=

C

2 2

×(

1

2

)2×

C

1 2

×

2

3

×

1

3

+

C

2 2

×(

2

3

)2×

C

1 2

×

1

2

×

1

2

=

1

3

P（ξ=4）=(

1

2

)2×(

2

3

)2=

1

9

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 36	1 6	13 36	1 3	1 9

…（10分）
∴Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

．        …（12分）

點(diǎn)評：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，求出概率是關(guān)鍵．