Question

設(shè)函數(shù)．
（1） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若x≥0時(shí)，恒有f（x）≤ax³，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）令，試證明：．

Answer 1

解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)镽， 由于f'（x）=1﹣≥0，知
f（x）是R上的增函數(shù)．
（II）令g（x）=g（x）﹣ax³=x﹣ln（x+）﹣ax³．則
g'（x）=，
令h（x）=，則
h'（x）=，
（1）當(dāng)a≥時(shí)，h'（x）≤0，從而h（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，
因h（0）=0，則x≥0時(shí)，h（x）≤0，也即g'（x）≤0，
進(jìn)而g（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，
注意g（0）=0，則x≥0時(shí)，g（x）≤0，也即f（x）≤ax³，
（2）當(dāng)0＜a＜時(shí)，在[0，]，h'（x）＞0，
從而x∈[0，]時(shí)，也即f（x）＞ax³，
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，h'（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax³，
綜合，實(shí)數(shù)a的取值范圍[，+∞）．
（III）在（II）中取a=，則
x∈[0，]，時(shí)，x﹣ln（x+）＞x³，即 x³+ln（x+）＜x，
令x=（）²ⁿ，則
＜（）²ⁿ，
∴