Question

已知函數(shù)，且f（4）=3．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說(shuō)明理由；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)，且f（4）=3，可求出n值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，分析f（-x）與f（x）的關(guān)系，可得答案．
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，作差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．
解答：解：（1）由f（4）=3得：n=1．…（2分）
∴，其定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．…（3分）
又．…（5分）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為奇函數(shù)．…（6分）
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．…（7分）
證明如下：
任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，…（8分）
則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
那么=
即f（x₁）＜f（x₂）．…（13分）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵．