Question

已知函數(shù)，且f（4）=3
（1）求m的值；
（2）證明f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）據(jù)f（4）=3求出待定系數(shù)m的值．
（2）先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再看f（x）與f（-x）的關(guān)系，依據(jù)奇偶性的定義進行判斷．
（3）在（0，+∞）上任取x₁＞x₂＞0，計算對應(yīng)的函數(shù)值之差，把此差變形為因式之積的形式，然后判斷符號，比較f（x₁）與
f（x₂）的大小，得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵f（4）=3，∴，∴m=1．（2分）
（2）因為，定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點成對稱區(qū)間．（3分）
又，（5分）
所以f（x）是奇函數(shù)．（6分）
（3）設(shè)x₁＞x₂＞0，則（9分）
因為x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，，（11分）
所以f（x₁）＞f（x₂），因此f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．
點評：本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及判斷函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的方法．