Question

已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．
（1）求此幾何體的表面積；
（2）如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置：P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由三視圖知：此幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，底面圓半徑長(zhǎng)a，圓柱高為2a，圓錐高為a．
（2）將圓柱側(cè)面展開，在平面矩形內(nèi)線段PQ長(zhǎng)為所求．

解答：解：（1）由三視圖知：此幾何體是一個(gè)圓錐加一個(gè)圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和．底面圓半徑長(zhǎng)a，圓柱高為2a，圓錐高為a．-------（2分）
S圓錐側(cè)=

1

2

(2πa)•(

2

a)=

2

πa2，-------（3分）
S圓柱側(cè)=(2πa)•(2a)=4πa2，------（4分）
S圓柱底=πa2，-------（5分）
所以S表面=

2

πa2+4πa2+πa2=(

2

+5)πa2．------（7分）
（2）沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如上圖．-------（9分）
則，PQ=

AP2+AQ2

=

a2+(πa)2

=a

1+π2

------（12分）
所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為a

1+π2

．------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖求面積，解題的關(guān)鍵是由三視圖還原出實(shí)物圖的幾何特征及其度量，再由公式求出表面積，還考查曲面距離最值問題，采用化曲面為平面的辦法．須具有空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．