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          如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求證：BD⊥平面ADC．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：不妨設AD=BD=CD=1，則由題意可得AB=AC=
          		2
          ，AD⊥BD．根據(jù) 
          BD
          •
          AC
          =（
          AD
          -
          AB
          ）•
          AC
          =
          AD
          •
          AC
          -
          AB
          •
          AC
          ，計算
          AD
          •
          AC
          =1，
          AB
          •
          AC
          =1，
          可得
          BD
          •
          AC
          =0，即BD⊥AC．再利用直線和平面垂直的判定定理證得BD⊥平面ADC．
          解答：證明：不妨設AD=BD=CD=1，則由題意可得AB=AC=
          		2
          ，AD⊥BD，AD⊥DC．故有
          AD
          •
          DC
          =0．
          ∵
          BD
          •
          AC
          =（
          AD
          -
          AB
          ）•
          AC
          =
          AD
          •
          AC
          -
          AB
          •
          AC
          ，
          由于
          AD
          •
          AC
          =
          AD
          •（
          AD
          +
          DC
          ）=
          AD
          •
          AD
          =1，
          AB
          •
          AC
          =|
          AB
          |•|
          AC
          |cos 60°=
          		2
          ×
          		2
          ×
          1
          2
          =1．
          ∴
          BD
          •
          AC
          =0，即BD⊥AC．
          又已知AD∩AC=A，∴BD⊥平面ADC．
          點評：本題主要考查證明直線和平面垂直的方法，兩個向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：044
			
          

						
          

          一架飛機以360km/h的速度，沿北偏東75°的航向從城市A出發(fā)向城市B飛行，18min以后，飛機由于天氣原因按命令改飛另一個城市C，如圖所示，已知AD＝57km，CD＝110km，BC＝204km，，，問收到命令時飛機應該沿什么航向飛行，此時離城市C的距離是多少？
          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：教材完全解讀　高中數(shù)學　必修5(人教B版課標版) 人教B版課標版
				題型：044
			
          

						
          

          一架飛機以360 km/h的速度，沿北偏東75°的航向從城市A出發(fā)向城市B飛行，18 min以后，飛機由于天氣原因按命令改飛另一個城市C．如圖所示，已知AD＝57 km，CD＝110 km，BC＝204 km，∠ADC＝66°，∠DCB＝133°，問收到命令時，飛機應該沿什么航向飛行，此時離城市C的距離是多少？
           
 

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：數(shù)學教研室
				題型：044
			
          

						
          

          一架飛機以360km/h的速度，沿北偏東75°的航向從城市A出發(fā)向城市B飛行，18min以后，飛機由于天氣原因按命令改飛另一個城市C，如圖所示，已知AD＝57km，CD＝110km，BC＝204km，，，問收到命令時飛機應該沿什么航向飛行，此時離城市C的距離是多少？
          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：選修設計數(shù)學A4－1人教版 人教版
				題型：047
			
          

						
          

          如圖所示，已知AD是△ABC的內角平分線，求證：．
          

          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：選修設計數(shù)學A4－1人教版 人教版
				題型：047
			
          

						
          

          如圖所示，已知AD、BE是△ABC的高，、是△的高，且AB∶AD＝∶，∠C＝∠．
          

          

          求證：AD·＝·BE．
          

          

          

			
          

			
          
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