Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnxa，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若關(guān)于x的方程f′（x）0有兩個(gè)不等的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____

Answer 1

【答案】（﹣∞，ln2）

【解析】

根據(jù)題意可得f′（x），代入關(guān)于x的方程f′（x）0，方程有2個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y＝1lnx與y＝a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則令g（x）＝1lnx，求導(dǎo)研究g（x）的圖象從而可得a的取值范圍.

根據(jù)題意可得，f′（x），x＞0

∵關(guān)于x的方程關(guān)于x的方程f′（x）0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴lnxa有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴y＝1lnx與y＝a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

令g（x）＝1lnx，

∴g′（x），

令g′（x）＝0，x＝2或﹣1（舍負(fù)）；

令g′（x）＞0，0＜x＜2；令g′（x）＜0，x＞2；

∴g（x）的最大值為g（2）＝1ln2ln2；

∴aln2；

∴a的取值范圍為（﹣∞，ln2）.

故答案為：（﹣∞，ln2）.