Question

【題目】已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)P，Q在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，求證：為定值；

（3）直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)以及此常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）20； （3），.

【解析】

(1)由點(diǎn)T在橢圓上且，可得，求得，點(diǎn)代入橢圓方程可求得b，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)直線：，聯(lián)立方程組 ，求出，同理求出由此能證明為定值；(3) 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：，由得，推出，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l：，，，從而.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)T在橢圓上且，所以，；

將點(diǎn)代入橢圓得，解得，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，得，

所以，

又直線：，類似的可得

故而，為定值；

（3）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：，設(shè)，，，

由得

又，

令得，此時(shí)，

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l：，，，又，有，

綜上，，.