【題目】如圖,在三棱柱中,平面
平面
,
.
(1)證明:;
(2)若是正三角形,
,求二面角
的大小.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】試題分析:(1)要證線線垂直,可以從線面垂直入手,證得AC⊥平面A1B1C,進(jìn)而得到AC⊥;(2)利用空間坐標(biāo)系的方法,求得兩個(gè)面的法向量,通過(guò)向量的夾角的計(jì)算得到二面角的大小.
解析:
(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)B1作A1C的垂線,垂足為O,
由平面A1B1C⊥平面AA1C1C,平面A1B1C∩平面AA1C1C=A1C,
得B1O⊥平面AA1C1C,
又AC平面AA1C1C,得B1O⊥AC.
由∠BAC=90°,AB∥A1B1,得A1B1⊥AC.
又B1O∩A1B1=B1,得AC⊥平面A1B1C.
又CA1平面A1B1C,得AC⊥CA1.
(Ⅱ)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>x軸正方向,|
|為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
由已知可得A(1,0,0),A1(0,2,0),B1(0,1,).
所以=(1,0,0),
=(-1,2,0),
=
=(0,-1,
).
設(shè)n=(x,y,z)是平面A1AB的法向量,則
即
可取n=(2,
,1).
設(shè)m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,則
即
可取m=(0,,1).
則cosn,m==
.
又因?yàn)槎娼?/span>A1-AB-C為銳二面角,
所以二面角A1-AB-C的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天課外體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
將學(xué)生日均課外體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表;
課外體育不達(dá)標(biāo) | 課外體育達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
(2)通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
參考格式:,其中
0.025 | 0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 2.072 | 6.635 | 7.879 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為矩形,平面
平面
,
,
,
為
的中點(diǎn),
為
上一點(diǎn),
交
于點(diǎn)
.
(1)證明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,以為頂點(diǎn)的六面體中,
和
均為等邊三角形,
,且平面
平面
,
平面
,
是
的中點(diǎn),連接
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,
側(cè)棱平面
,
為等腰直角三角形,
,且
,
分別是
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:①平面
;
②平面
;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 平面
,
平面
,
是等邊三角形,
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)若直線與平面
所成角的正切值為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓:
,長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線
:
的焦點(diǎn)
重合,且橢圓
的離心率是
.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)作直線
交拋物線
于
,
兩點(diǎn),過(guò)
且與直線
垂直的直線交橢圓
于另一點(diǎn)
,求
面積的最小值,以及取到最小值時(shí)直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
是參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求的直角坐標(biāo)方程和
的普通方程;
(2)與
相交于
兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
為
上異于
的一點(diǎn),當(dāng)
面積最大時(shí),求點(diǎn)
到
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:
(
)的左右焦點(diǎn)分別為
,
且
關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)
在直線
上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若過(guò)焦點(diǎn)垂直
軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為
,斜率為
的直線
交橢圓于
,
兩點(diǎn),問(wèn)是否存在定點(diǎn)
,使得
,
的斜率之和為定值?若存在,求出所有滿足條件的
點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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