【題目】如圖,在三棱柱中,平面
平面
,
.
(1)證明:;
(2)若是正三角形,
,求二面角
的大小.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)要證線線垂直,可以從線面垂直入手,證得AC⊥平面A1B1C,進而得到AC⊥;(2)利用空間坐標系的方法,求得兩個面的法向量,通過向量的夾角的計算得到二面角的大小.
解析:
(Ⅰ)過點B1作A1C的垂線,垂足為O,
由平面A1B1C⊥平面AA1C1C,平面A1B1C∩平面AA1C1C=A1C,
得B1O⊥平面AA1C1C,
又AC平面AA1C1C,得B1O⊥AC.
由∠BAC=90°,AB∥A1B1,得A1B1⊥AC.
又B1O∩A1B1=B1,得AC⊥平面A1B1C.
又CA1平面A1B1C,得AC⊥CA1.
(Ⅱ)以C為坐標原點,的方向為x軸正方向,|
|為單位長,建立空間直角坐標系C-xyz.
由已知可得A(1,0,0),A1(0,2,0),B1(0,1,).
所以=(1,0,0),
=(-1,2,0),
=
=(0,-1,
).
設n=(x,y,z)是平面A1AB的法向量,則
即
可取n=(2,
,1).
設m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,則
即
可取m=(0,,1).
則cosn,m==
.
又因為二面角A1-AB-C為銳二面角,
所以二面角A1-AB-C的大小為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系,對該校200名高三學生平均每天課外體育鍛煉時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)
將學生日均課外體育鍛煉時間在的學生評價為“課外體育達標”.
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
課外體育不達標 | 課外體育達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
(2)通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關?
參考格式:,其中
0.025 | 0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 2.072 | 6.635 | 7.879 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,以為頂點的六面體中,
和
均為等邊三角形,
,且平面
平面
,
平面
,
是
的中點,連接
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設橢圓:
,長軸的右端點與拋物線
:
的焦點
重合,且橢圓
的離心率是
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過作直線
交拋物線
于
,
兩點,過
且與直線
垂直的直線交橢圓
于另一點
,求
面積的最小值,以及取到最小值時直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
是參數(shù)).以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
.
(1)求的直角坐標方程和
的普通方程;
(2)與
相交于
兩點,設點
為
上異于
的一點,當
面積最大時,求點
到
的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
(
)的左右焦點分別為
,
且
關于直線
的對稱點
在直線
上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若過焦點垂直
軸的直線被橢圓截得的弦長為
,斜率為
的直線
交橢圓于
,
兩點,問是否存在定點
,使得
,
的斜率之和為定值?若存在,求出所有滿足條件的
點坐標;若不存在,說明理由.
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