Question

設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C．向量

m

=(1，cos

C

2

)與

n

=(

3

sin

C

2

+cos

C

2

，

3

2

)共線．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足2acosC+c=2b，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

與

n

共線，可得三角等式，運(yùn)用三角恒等變換進(jìn)行化簡，即可解得C值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，再由余弦定理可得c²=a²+b²-ab②，由①②消掉c可得b（b-a）=0，從而得a=b，于是得到結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）∵

m

與

n

共線，
∴

3

2

=cos

C

2

（

3

sin

C

2

+cos

C

2

）=

3

2

sinC+

1

2

（1+cosC）=sin（C+

π

6

）+

1

2

，
∴sin（C+

π

6

）=1，∴C=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，
根據(jù)余弦定理可得：c²=a²+b²-ab②，
聯(lián)立①②解得：b（b-a）=0，
又b＞0，∴b=a，C=

π

3

，所以△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示、三角形的形狀判斷及三角恒等變換，具有一定綜合性．