Question

【題目】在一個(gè)的方格表的每個(gè)方格內(nèi)填入1或，如果任意一格內(nèi)的數(shù)都等于與它有公共邊的那些方格內(nèi)所填數(shù)的乘積，則稱這種填法是“成功”的.求“成功”填法的總數(shù).

Answer 1

【答案】1

【解析】

假設(shè)存在某種成功填法，其中含有.

首先證明：若此種成功填法關(guān)于中間一列（行）對(duì)稱，則中間一列（行）全為1.

設(shè)，.若，由，得.

同理，，…，.

若，同理可得.

因此，若，則.這樣，，，，，，，…，，，.從而，矛盾.

因此，中間一列（行）全為1.

其次，若此種成功填法不關(guān)于中間一列對(duì)稱，先將此種填法沿中間一列翻轉(zhuǎn)，得另一種填法，再將兩種填法處于相同位置的數(shù)相乘，就得到關(guān)于中間一列對(duì)稱的成功填法，其中含有.此種成功填法可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為既關(guān)于中間一行，又關(guān)于中間一列對(duì)稱的成功填法，其中含有.

對(duì)這樣的的成功填法，去掉中間一行與中間一列的所有1，就可得到4個(gè)的成功填法，至少有一個(gè)其中含有.對(duì)這個(gè)成功填法，一直重復(fù)上面的操作，最終可得到一個(gè)的成功填法，其中含有，但中間一行和中間一列全為1，這與成功填法的定義矛盾.

因此，對(duì)任意成功填法，其中一定不含有.故成功填法只有1種，即每個(gè)方格中均填1.