Question

如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O為AB的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：CO⊥DE；

(Ⅱ)求二面角C-DE-A的大小.

Answer 1

答案：方法—：(Ⅰ)證明：因△ABC為等邊三角形,且O為AB中點(diǎn)

∴CO⊥AB又∵平面ABDE⊥平面ABC  ∴CO⊥平面ABDE

∵DE平面ABDE  ∴CO⊥DE 

(Ⅱ)解：過(guò)O作OK⊥DE于K,連接CK,則由三垂線定理得

CK⊥ED  ∴所求二面角的平面角為∠OKC

在正三角形ABC中可求得CO=,在直角梯形ABDE中可求得

KO=,tan∠OKC=；所以所求二面角的大小為arctan 

方法二：以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖),

則A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),D(0,1,2),E(0,-1,1),

(Ⅰ)證明：=(,0,0),=(0,-2,-1),∵=0,  ∴CO⊥DE,

(Ⅱ)解：顯然,面ABDE的一個(gè)法向量m=(1,0,0),設(shè)面DCE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則

由n⊥得x+y-z=0,由n⊥得2y+z=0,

解得n=(,1,-2),|cos〈m,n〉|=所以所求二面角的大小為arccos.