Question

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²－3x在x＝±1處取得極值．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求證：對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

(3)若過(guò)點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，(1)＝(－1)＝0， 　　即 　　解得a＝1，b＝0． 　　∴f(x)＝x3－3x． 　　(2)∵f(x)＝x3－3x，∴(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 　　當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，(x)＜0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)， 　　fmax(x)＝f(－1)＝2，fmin(x)＝f(1)＝－2 　　∵對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2， 　　都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)| 　　|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|＝2－(－2)＝4 　　(3)(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 　　∵曲線方程為y＝x3－3x，∴點(diǎn)A(1，m)不在曲線上． 　　設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足 　　因，故切線的斜率為 　　， 　　整理得． 　　∵過(guò)點(diǎn)A(1，m)可作曲線的三條切線， 　　∴關(guān)于x0方程＝0有三個(gè)實(shí)根． 　　設(shè)g(x－0)＝，則(x0)＝6， 　　由(x0)＝0，得x0＝0或x0＝1． 　　∴g(x0)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減． 　　∴函數(shù)g(x0)＝的極值點(diǎn)為x0＝0，x0＝1 　　∴關(guān)于x0方程＝0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是 　　，解得－3＜m＜－2． 　　故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3＜m＜－2．