Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是曲線上的任意一點(diǎn)，動點(diǎn)滿足

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)的動直線與點(diǎn)的軌跡方程交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)符合題意.

【解析】

（1）設(shè)，，利用相關(guān)點(diǎn)代入法得到點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，因為直線l的傾斜角不可能為，故設(shè)直線l的方程為，利用斜率和為0，求得，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）設(shè)，，

則，，.

又，則即

因為點(diǎn)N為曲線上的任意一點(diǎn)，

所以，

所以，整理得，

故點(diǎn)C的軌跡方程為.

（2）設(shè)存在點(diǎn)，使得，所以.由題易知，直線l的傾斜角不可能為，故設(shè)直線l的方程為，

將代入，得.設(shè)，，則，.因為，所以，即，所以.故存在點(diǎn)，使得.