Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若以，為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，求證：平行四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）由題意可得關(guān)于的方程組，求得的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及四邊形是平行四邊形，可得點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得到，利用弦長(zhǎng)公式求得，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，代入三角形面積公式即可證明平行四邊形的面積為定值．

解：（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程，可得①，

又因?yàn)殡x心率為，所以，從而②，

聯(lián)立①②，解得，，

所以橢圓為；

（2）把代入橢圓方程，

得，

所以，

設(shè)，，則，

所以，

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，

所以，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為.

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，即.

因?yàn)?/span>

.

又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

所以平行四邊形的面積

，

即平行四邊形的面積為定值.