Question

已知

a

=（

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，cosx）函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得sin（2x+

π

6

），即為函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得函數(shù)的最小正周期T=π．再由正弦函數(shù)圖象對稱軸方程的公式，解關于x的等式，即可得到函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，cosx）
∴函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx+cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=sin（2x+

π

6

）．
所以函數(shù)f（x）的解析式為：y=sin（2x+

π

6

）；
（2）根據三角函數(shù)周期公式，得f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），可得x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴f（x）圖象的對稱軸方程為x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z）．

點評：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)圖象的對稱軸方程和周期，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．