Question

設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，且直線(xiàn)mx+ny=2和圓x²+y²=2沒(méi)有公共點(diǎn)，則關(guān)于x的方程x²+2mx+n=0有實(shí)根的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用,幾何概型

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)直線(xiàn)mx+ny-3=0與圓x²+y²=3沒(méi)有公共點(diǎn)即為圓心到直線(xiàn)的距離大于半徑，得到m與n的范圍，滿(mǎn)足條件的事件是關(guān)于x的方程x²+2mx+n=0有實(shí)根，根據(jù)二次方程的判別式寫(xiě)出m，n要滿(mǎn)足的條件，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的集合，做出面積，再由幾何概型概率計(jì)算公式即可得到概率．

解答： 解：由于直線(xiàn)mx+ny=2和圓x²+y²=2沒(méi)有公共點(diǎn)，
則d=

|-2|

m2+n2

＞

2

，
故m²+n²＜2．
則構(gòu)成的基本事件空間為Ω={（m，n）|m²+n²＜2}，
SΩ=π•(

2

)2=2π
又由關(guān)于x的方程x²+2mx+n=0有實(shí)根，
則△=（2m）²-4n≥0，即m²≥n
則對(duì)應(yīng)的集合為A={（m，n）|m²+n²＜2，m²≥n}，
S_A=2

∫

1 0

2-m2

-m2dm=

3π

2

-

1

3

，
則關(guān)于x的方程x²+2mx+n=0有實(shí)根的概率為P=

3π 2 - 1 3

2π

=

3

4

-

1

6π

故答案為：

3

4

-

1

6π

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及幾何概型．古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、體積的比值得到．是中檔題．