Question

已知橢圓E：的上頂點(diǎn)為M（0，1），兩條過(guò)M點(diǎn)動(dòng)弦MA、MB滿足MA⊥MB．
（1）當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求此時(shí)橢圓E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面積的最大值為，求a的值；
（3）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a（a＞1），動(dòng)直線是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？如果經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)（用a表示）否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時(shí)c=1，利用a²=b²+c²，即可求得橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為，分別代入橢圓E的方程，求得A、B的坐標(biāo)，從而可求直角三角形MAB的面積，利用最大值為，可求a的值；
（3）由（2）知直線l的斜率，從而可求直線l的方程，由此可得直線l過(guò)定點(diǎn)．
解答：解：（1）坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離為，當(dāng)且僅當(dāng)c=1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短
∵c=1，b=1，∴a²=b²+c²，∴a²=2
∴橢圓E的方程為
（2）由MA⊥MB，可知直線MA與坐標(biāo)軸不垂直，
故可設(shè)直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為
將y=kx+1代入橢圓E的方程，整理得  （1+a²k²）x²+2a²kx=0
解得x=0或，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為
同理，點(diǎn)B的坐標(biāo)為
∴=
=，
解得a=3
（3）由（2）知直線l的斜率為=
直線l的方程為，即
∴直線l過(guò)定點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查三角形的面積，考查直線過(guò)定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確求出三角形的面積、直線的方程．