Question

已知橢圓E：的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且圓C：過(guò)A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當(dāng)β-α=時(shí)，證明：點(diǎn)P在一定圓上．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出圓C與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定橢圓E的方程；
（2）求出直線PF₂、PF₁的斜率，利用β-α=，結(jié)合兩角差的正切公式，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
故，所以b=3，∴橢圓方程是：．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則=tanβ=，=tanα=，
因?yàn)棣?α=，所以tan（β-α）=-．
因?yàn)閠an（β-α）==，
所以=-，化簡(jiǎn)得x²+y²-2y=3．
所以點(diǎn)P在定圓x²+y²-2y=3上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查兩角差的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．