Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M、N分別為PD、PB的中點，平面MCN與PA的交點為Q
（Ⅰ）求PQ的長度；
（Ⅱ）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅲ）求四棱錐A-MCNQ的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)Q（0，0，h），由M，N，C，Q共面知：

AQ

=x

AM

+y

AN

+z

AC

，即得到方程組進而求出h=1．即可得答案．
（Ⅱ）面ABCD的法向量為

AP

=(0，0，4)，再求出面MCN的法向量

n

=(u，v，r)=(

2

，1，1)，利用向量的有關(guān)運算求出向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
（Ⅲ）由題意可得：

MQ

=(-

2

2

，0，1)=

1

2

CN

并且SCMQ=

1

3

SMCNQ，得V_A-MCNQ=3V_A-CMQ，進而轉(zhuǎn)化為V_A-CMQ=V_C-AMQ，所以即可得到答案．

解答：解：由題設(shè)知：以A為原點，AD、AB、AP所在線分別x、y、z軸如圖示建立空間直角坐標系，
則有：A(0，0，0) ，B(0，2，0) ，C(

2

，1，0) ，D(

2

，0，0)，P（0，0，4），M(

2

2

，0，2)，N（0，1，2），設(shè)Q（0，0，h）
（Ⅰ）由M，N，C，Q共面知：

AQ

=x

AM

+y

AN

+z

AC

且x+y+z=1，于是有：

2 2 x+ 2 z=0 y+z=0 2x+2y=h

即

x=-2z y=-z h=-6z

得h=3
故PQ=1
（Ⅱ）設(shè)

n

⊥面MCN，且

n

=(u，v，r)，底面ABCD的法向量為

AP

=(0，0，4)
由

CM

=(-

2

2

，-1，2)，

CN

=(-

2

，0，2)知：

- 2 2 u-v+2r=0 - 2 u+2r=0

即

v=r u= 2 r

取r=1得

n

=(

2

，1，1)，于是有cos?

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP || n |

=

4

4×2

=

1

2

所以截面MCN與底面ABCD所成二面角為60⁰．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知：

MQ

=(-

2

2

，0，1)=

1

2

CN

，
于是SCMQ=

1

3

SMCNQ，得V_A-MCNQ=3V_A-CMQ
由∠CDA=∠BAD=90°知CD⊥面PAD，V_A-CMQ=V_C-AMQ
由S△AMQ=

1

2

AQ(

1

2

AD)=

3 2

4

知：VA-MCNQ=3(

1

3

CD•S△ANQ)=

3 2

4

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標系，進而利用空間向量的有關(guān)運算解決長度、體積、空間角等問題．