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        1. 如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M是CC1的中點,N是BC的中點,點P在直線A1B1上,且滿足
          A1P
          A1B1

          (1)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?
          (2)若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,試確定點P的位置.
          分析:(1)以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,可得向量
          PN
          的坐標關于λ的表示式,而平面ABC的法向量
          n
          =(0,0,1)
          ,可建立sinθ關于λ的式子,最后結合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當λ=
          1
          2
          時,角θ達到最大值;
          (2)根據(jù)垂直向量的數(shù)量積等于0,建立方程組并解之可得平面PMN的一個法向量為
          m
          =(3,2λ+1,2(1-λ))
          ,而平面PMN與平面ABC所成的二面角等于向量
          m
          、
          n
          所成的銳角,由此結合已知條件建立關于λ的方程并解之,即可得到λ的值,從而確定點P的位置.
          解答:解:(1)以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,
          PN
          =(
          1
          2
          -λ,
          1
          2
          ,-1)
          ,易得平面ABC的一個法向量為
          n
          =(0,0,1)

          則直線PN與平面ABC所成的角θ滿足:
          sinθ=|cos<
          PN
          ,
          n
          >|=
          |
          PN
          n
          |
          |
          PN
          ||
          n
          |
          =
          1
          (λ-
          1
          2
          )
          2
          +
          5
          4
          (*),于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,
          θ∈[0,
          π
          2
          ]
          ,當θ最大時,sinθ最大,
          所以當λ=
          1
          2
          時,(sinθ)max=
          2
          5
          5
          ,同時直線PN與平面ABC所成的角θ得到最大值.
          (2)已知給出了平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,
          即可得到平面ABC的一個法向量為
          n
          =
          AA1
          =(0,0,1)
          ,
          設平面PMN的一個法向量為
          m
          =(x,y,z)
          MP
          =(λ,-1,
          1
          2
          )

          m
          NP
          =0
          m
          MP
          =0
          (λ-
          1
          2
          )x-
          1
          2
          y+z=0
          λx-y+
          1
          2
          z=0
          ,解得
          y=
          2λ+1
          3
          x
          z=
          2(1-λ)
          3
          x

          令x=3,得
          m
          =(3,2λ+1,2(1-λ))
          ,于是
          ∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,
          |cos<
          m
          ,
          n
          >|=
          |
          m
          n
          |
          |
          m
          ||
          n
          |
          =
          |2(1-λ)|
          9+(2λ+1)2+4(1-λ)2
          =
          2
          2
          ,
          解之得:λ=-
          1
          2
          ,故點P在B1A1的延長線上,且|A1P|=
          1
          2
          點評:本題給出特殊三棱柱,探索了直線與平面所成角的最大值,并求二面角為45度時動點的位置,著重考查了用空間向量求直線與平面的夾角和用空間向量求平面間的夾角等知識,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2
          2
          ,M,N分別是棱CC1,AB中點.
          (Ⅰ)求證:CN⊥平面ABB1A1;
          (Ⅱ)求證:CN∥平面AMB1;
          (Ⅲ)求三棱錐B1-AMN的體積.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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          A1P
          A1B1

          (1)證明:PN⊥AM;
          (2)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點,點P在直線A1B1上,且
          A1P
          A1B1
          ;
          (Ⅰ)證明:無論λ取何值,總有AM⊥PN;
          (Ⅱ)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時的正切值;
          (Ⅲ)是否存在點P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,若存在,試確定點P的位置,若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2,且A1A⊥底面ABC,D為AB的中點,G為△ABC1的重心,則|
          CG
          |的值為(  )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D為AC中點.
          (1)求證:BD⊥AC1
          (2)若AB=
          2
          ,AA1=2
          3
          ,求AC1與平面ABC所成的角.

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