Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且

A1P

=λ

A1B1

；
（Ⅰ）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（Ⅱ）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值；
（Ⅲ）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，求出各點的坐標及對應向量的坐標，易判斷

AM

•

PN

=0，即AM⊥PN；
（2）設出平面ABC的一個法向量，表達出sinθ，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關系，求出滿足條件的λ值，進而求出此時θ的正切值；
（3）假設存在，利用平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角為30°，代入向量夾角公式，可以構造一個關于λ的方程，研究方程根的情況，即可得到結論．

解答：（1）證明：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則A₁（0，0，1），
B₁（1，0，1），M（0，1，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，0）

A1P

=λ

A1B1

=λ(1，0，0)=(λ，0，0)，

AP

=

AA1

+

A1P

=(λ，0，1)，

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)
（1）解：∵

AM

=(0，1，

1

2

)，∴

AM

•

PN

=0+

1

2

-

1

2

=0
∴無論λ取何值，AM⊥PN…（4分）
（2）解：∵

m

=（0，0，1）是平面ABC的一個法向量．
∴sinθ=|cos＜

m

•

PN

＞|=

|0+0-1|

( 1 2 -λ)2+ 1 4 +1

=

1

(λ- 1 2 )2+ 5 4

而θ∈[0，

π

2

]，當θ最大時，sinθ最大，tanθ最大，θ=

π

2

除外，
∴當λ=

1

2

時，θ取得最大值，此時sinθ=

4 5

，cosθ=

1 5

，tanθ=2  …（8分）
（3）假設存在，則

NM

=(-

1

2

，

1

2

，

1

2

)，設

n

=(x，y，z)是平面PMN的一個法向量．
則

- 1 2 x+ 1 2 y+ 1 2 z=0 ( 1 2 -λ)x+ 1 2 y-z=0

得

y= 1+2λ 3 x z= 2-2λ 3 x

令x=3，得y=1+2λ，z=2-2λ
∴

n

=(3，1+2λ，2-2λ)
∴|cos＜

m

，

n

＞|=

|2-2λ|

9+(1+2λ)2+(2-2λ)2

=

3

2

化簡得4λ²+10λ+13=0（*）
∵△=100-4×4×13=-108＜0
∴方程（*）無解
∴不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°…（13分）

點評：利用向量知識解決立體幾何問題的優(yōu)點在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關鍵在于用坐標表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式．