Question

設(shè)函數(shù)，．
（Ⅰ）若，求的極小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，是否存在實(shí)常數(shù)和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，說(shuō)明理由．
（Ⅲ）設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，且成等差數(shù)列，試探究值的符號(hào)．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在這樣的k和m，且;（Ⅲ）的符號(hào)為正.

試題分析：（Ⅰ）首先由,得到關(guān)于的兩個(gè)方程,從而求出,這樣就可得到 的表達(dá)式,根據(jù)它的特點(diǎn)可想到用導(dǎo)數(shù)的方法求出的極小值; （Ⅱ）由（Ⅰ）中所求的和,易得到它們有一個(gè)公共的點(diǎn),且和在這個(gè)點(diǎn)處有相同的切線,這樣就可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明和分別在這條切線的上方和下方,兩線的上下方可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與0的大小,即證和成立,從而得到和的值; （Ⅲ）由已知易得,由零點(diǎn)的意義,可得到關(guān)于兩個(gè)方程,根據(jù)結(jié)構(gòu)特征將兩式相減,得到關(guān)于的關(guān)系式,又對(duì)求導(dǎo),進(jìn)而得到,結(jié)合上面關(guān)系可化簡(jiǎn)得:,針對(duì)特征將當(dāng)作一個(gè)整體,可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的函數(shù),對(duì)其求導(dǎo)分析得,恒成立.
試題解析：解：（Ⅰ）由，得，解得        2分
則=，
利用導(dǎo)數(shù)方法可得的極小值為  5分
（Ⅱ）因與有一個(gè)公共點(diǎn)，而函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，
下面驗(yàn)證都成立即可               7分
由，得，知恒成立          8分
設(shè)，即，易知其在上遞增，在上遞減，
所以的最大值為，所以恒成立.
故存在這樣的k和m，且         10分
（Ⅲ）的符號(hào)為正. 理由為：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025450951914.png" style="vertical-align:middle;" />有兩個(gè)零點(diǎn)，則有
，兩式相減得 12分
即，于是
 14分
①當(dāng)時(shí)，令，則，且.
設(shè)，則，則在上為增函數(shù)．而，所以，即. 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025451980669.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
②當(dāng)時(shí)，同理可得：.
綜上所述：的符號(hào)為正            16分